bileşke fonksiyon ne demek?

Bileşke fonksiyon, matematikte bir işlevdir.

f, X kümesinden Y kümesine giden bir fonksiyonsa, g de Y kümesinden Z kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman g ∘ f fonksiyonunu her x ∈ X için,

(g∘f)(x) = g(f(x))

kuralıyla tanımlanan X kümesinden Z kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona g ve f fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir.

Başka bir deyişle, bileşke

f : X → Y ve g : Y → Z

fonksiyonlarından

g ∘ f : X → Z

fonksiyonunu üretir.

g ve f fonksiyonlarının (bu sırayla) bileşkesini alabilmek için f fonksiyonunun değer kümesi, g fonksiyonunun tanım kümesine eşit olmalıdır.

Eğer f, X kümesinden Y kümesine, g de Y kümesinden X kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman hem g ∘ f : X → X fonksiyonundan hem de f ∘ g : Y → Y fonksiyonundan söz edilebilir.

Bileşke, X'ten X'e giden fonksiyonlar kümesi olan Fonk(X, X) kümesi üzerine bir ikili işlemdir. Özdeşlik fonksiyonu Id_X, bu ikili işlemin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır. Ayrıca, Fonk(X, X) kümesinin bileşke işlemi için tersinir elemanları eşlemeler, yani bijeksiyonlardır.

Özellikleri

X = Y = Z = R (gerçek sayılar kümesi) olsun. f fonksiyonu f(x) = x² ve g fonksiyonu g(x) = x + 1 olarak tanımlansın. O zaman,

(f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)²

dir. Ancak

(g∘f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 1

dir. Demek ki

f ∘ g ≠ g ∘ f ,

yani bileşkenin değişme özelliği yoktur. Öte yandan bileşkenin birleşme özelliği vardır.

X, Y, Z, T dört küme olsun.

f : X → Y ,

g : Y → Z ,

h : Z → T

üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edilebilir:

g ∘ f : X → Z ,

h ∘ (g∘f) : X → T ,

h ∘ g : Y → T ,

(h∘g) ∘ f : X → T .

Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani

(h∘g) ∘ f = h ∘ (g∘f)

eşitliği geçerlidir. X kümesinden herhangi bir x elemanı alınır ve her iki fonksiyon da bu x elemanında değerlendirilirse

((h∘g)∘f)(x) = (h∘g)(f(x)) = h(g(f(x)))

ve

(h∘(g∘f))(x) = h((g∘f)(x)) = h(g(f(x))).

eşitliklerine ulaşılır.

Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan sol tarafları da eşittir, yani

((h∘g)∘f)(x) = (h∘(g∘f))(x) .

Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani (h∘g) ∘ f = h ∘ (g∘f) eşitliği çıkar.

Orijinal kaynak: bileşke fonksiyon. Creative Commons Atıf-BenzerPaylaşım Lisansı ile paylaşılmıştır.

Kategoriler